16. 陌生人间我揭示三维国奥秘的一番徒劳
我妻子的告别声刚刚消失，我就开始靠近这位陌生人，打算请他“坐”下来，并借此更近地看看他。一见他的外表，我就目瞪口呆、痴若木鸡。他竟连一点点带角度的征候也没有，但他的大小和光亮程度又每时每刻都在变化着。据我所知，这在任何图形来说几乎都是不可能的。我突然想到，这可能是一个窃贼或强盗，是装成圆的某个邪恶的不规则等腰三角形，不知用什么方法钻进了我的屋子，正打算用他的尖角刺穿我呢！
但我是在房间里，而且目前正值干燥季节，所以没有雾气，这使我很难相信视觉辨认的结果，特别是我现在就站在离他极近的地方。我恐怖极了，竟唐突地向他冲去，说道：“先生，你必须允许我……”一边说，我一边触摸起他来。
我的妻子是对的，他没有角的迹象，也没有一点有棱角或不均匀的地方，在我的生活中，从没有见到过比他更完美的圆了。我从他面前开始，围着他转上一圈。当我绕着他走动时，他一动也不动。我看出他的确是个圆，一个极好的圆，这是毫无疑问的。
后来便是一番谈话。我在这里尽量将原话复述出来，只是把其中没完没了地道歉的话砍掉了一些 --— 我竟斗胆摸了一个圆，事后想起来真是羞愧难当啊。谈话是以来客对我长时间的触摸表示不耐烦开始的。
陌生人：“现在你该摸够了吧？可你还没有自我介绍呢！”
我：“最杰出的阁下，请原谅我的唐突，这不是因为我不懂得文明社会的规矩，而只是惊奇和紧张使然。您的造访实在是太出乎我的意料了。阁下，我恳求您不要把我的失礼行为告诉别人，特别是我的妻子。在和您交谈之前，请您满足一下我的好奇心，让我知道您是从哪里光临的，好吗？”
陌生人：“从空间。我从空间来，先生。不从空间，又能从哪里来呢？”
我：“对不起，阁下。不过就在此刻，您和鄙人不也是在空间里吗？”
陌生人：“非也，非也。你认为什么是空间呢？你能下个定义吗？”
我：“空间就是无限延伸的长和宽，阁下。”
陌生人：“说真的，看来你连什么是空间都不知道呢。你以为空间只是二维的吧？我再告诉你第三个维 --— 除了长和宽以外，还有一个高。”
我：“阁下可真爱开玩笑。我们也把长说成高，把宽说成厚，因此是两个维的四种说法。”
陌生人：“我的意思并不是叫法问题，而是说存在着三个维。”
我：“请您说明一下，这个我所不知道的第三个维在什么方向上？”
陌生人：“就从我来的那个方向上，也就是沿着上和下的方向。”
我：“您的意思是说沿着南和北吧？”
陌生人：“根本不是这个意思。我所指的方向你是看不见的，因为在你的身子边上没有生着眼睛。”
我：“请原谅，阁下。您看一下就会相信，我是生有眼睛的。在我的两条边的相交处有一个发亮的小点，那就是我的眼睛。”
陌生人：“我知道。但为了向空间看，你应当还生有别的眼睛。不是在你的周边上，而是在你身体的侧面。可能你会叫它是你的体内，可在我们三维国，则称之为侧面。”
我：“让我体内长一只眼睛？长在我的肚子里？阁下是在开玩笑吧！”
陌生人：“我可没有开玩笑的闲心。我跟你说过，我是从空间来的，可你不懂得什么是空间，所以我又对你说，我来自一个有三个维的国度，我刚才就从那里俯瞰了你们自称为‘真正的空间’的这个平面。从刚才那个有利的位置，我可以进一步描述你们称之为‘立体’（在你们这里，凡是四面都有边界的，你们都叫它是立体）的东西：称们的住房、教堂、家具、保险箱，甚至你们的内脏，全部暴露在我的视野里。”
我：“嘴上这样说说倒也不难，阁下。”
陌生人：“你的意思是说证明起来可就难了不是？可我这就来证明一下。当我往这儿下降时，我看见了你的四个儿子，他们是五边形，都在自己的房间里；还有你的两个六边形的孙子。我看见你最小的孙子和你在一起呆了一会见，然后回到了自己的房间，这间房子里只留下了你们夫妻二人。我还看见你的三个等腰三角形的仆人在厨房里准备晚饭，另有一个小听差在帮忙洗碗碟。然后我便到这里来了。现在，你认为我是怎么来的呢？”
我：“我想，您说不定是从天花板的什么地方钻过来的。”
陌生人：“不对，你很清楚，你的屋顶最近刚刚修缮过，甚至连个能让女人钻过的缝隙都没有。告诉你，我是从空间来的。我已经对你讲了有关你的孩子和家庭的情况，你还不相信我是从空间来的吗？”
我：“阁下一定很清楚，象您这样一位能拥有广泛情报来源的贵人，要想从我周围了解到一些鄙人家里的私事，不是易如反掌吗？”
陌生人：（自言自语）“我该怎么办？对了，我又想起了一招。 --— 当你看一段直线，比如看你的妻子时，你认为她是几维的呢？”
我：“听阁下同我谈话的口气，就好象我是个粗人，对数学一无所知似的，所以觉得我会认为女人真地是一段直线，只具有一个维。不，不，不，阁下。我们四边形多少是喝过些墨水的，因此能象您一样，知道妇女虽然一般被称做直线，其实科学地说是一个极细长的平行四边形，因此有两个维，同其它人一样有长有宽。”
陌生人：“正因为有三个维，你才能看见这条所谓的线呢！”
我：“阁下，我刚刚说过，妇女是有宽度和长度的。我们能看见她的长，推断出她的宽，宽度虽然极小，但也能测量出来。”
陌生人：“你没有明白我的意思。当你看见一位妇女时，你应该 --— 除了推测她有宽度之外 --— 看见她的长，也应当看见她的我们称之为“高”的东西的存在，虽然最后这一个维在你的国家里是无穷小的。如果一条直线只有长而没有高，它就不再占有空间而变为不可见的了。你真地没有认识到这一点吗？”
我：“我承认我一点儿也不明白您的意思。我们在二维国看一条线时，是凭借长度和亮度看见的；如果光亮消失了，就说明这条线已不复存在了，也就象是你说的不再占有空间了。据我猜想，你所说的另一个维，就是这个我们称之为‘亮度’的东西吧，只是你们称之为‘高’就是了。对吗？”
陌生人：“不。我所说的高，就象你们的长度一样，也是一个维，只是在你们这里，高度一概是极小的，因而不易觉察出来罢了。”
我：“阁下，对您所说的是很容易加以验证的。您说我具有你们称之为‘高’的第三维。那好吧，维是有方向和大小的。那就请您测量一下我的‘高’，或者指一下我的‘高’是沿什么方向延伸的吧。如果您能叫我知道，我就会信服您，否则就只好对您所说的敬而远之了。”
陌生人：（自言自语）“既测量不出来，也无法对他指出？怎样能使他信服呢？有了，先对他说几个事实，然后再实际演示一下让他看看，这肯定就能行了。 --— 请再听我说，先生。”
“你生活在一个平面上。设想你称之为二维国的世界，就是人们称之为流体这个东西的广大的表面，你和你的国民们就在这个面上，或者说在这个面里活动，但是不能上升或下降。
“我不是平面图形，而是一个立体。你称我为圆，可实际上我不是圆，而是叠在一起的无数多个直径从零至十三英寸的种种大小不等的圆。当我切入你的平面时，就会在这个面上截成一个图形，这就是一个圆。瞧，我现在就是这样做的。因为对于一个球来说 --— 球就是我在我那个国家里的名称 --— 如果能向二维国民表示出自己的形状的话，也只能表现为一个圆。
“你记不记得你昨夜的一维国之行？ --— 我是什么都能看见的，因此我已经看到了你脑子里存留的有关幻象。喂，你记不记得，在你进入一维国时，是如何不得不在国王面前显现为一条线而不是四边形的？那是因为一维国只有一个维，因而不足以表示出你的全貌的缘故。现在的情况也完全类似。你们二维国也同样没有足够的地方来让我表现出自己的全貌；我是个三维形体，因此在这里只能显现我的一个断面，这也就是你称之为圆的图形。
“你的眼神有点暗淡，这表明你仍不肯相信。但现在我就要用确凿的证据表明，我告诉你的都是真理。既然你没有能力把你的眼睛抬出你的平面之外，你就只能看到我的一个断面，也就是说，每次只能看见一个圆。可当我在空间上升时，你至少会看见我在平面上的断面是逐渐变小的。现在你来看，我升起来了……你看见的圆正变得越来越小，直到缩成一个点，并且最后消失。”
我看不见他的上升，只是看到这个圆一点点变小，最后便消失了。我眨了好几次眼睛，为的是弄明白是不是在做梦。这不是梦。从空中不知何处传来了飘渺的声音 --— 它好象就贴在我的心口：“我离开了吧！好，现在我再渐渐回到二维国来，你会看见我的断面越来越大。”
球即将消失的一瞬
球正在升起 _____
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球的最大截面 / \ | |
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在三维国的每个读者都很明白，我这位神秘的客人所讲的话明摆着都是真实的。但我虽然说是二维国里一个精通数学的人，可这对于我却不是那么简单明白的事情。三维国里哪怕随便一个孩子，看了上面的那张很大略的图解，都会明白这是一个球在三维空间里上升时，对我或任一个二维国民表现为一个圆，而且开始时最大，然后就变小，最后变得极小，近似于一个点。而我却虽然看见了眼前的事实而依然感到莫名其妙。我所能理解的，只不过是这个圆使他自己变小和消失，然后又重现并迅速变大。
当他又恢复到原来的大小时，大声地叹了一口气，因为他从我的沉默中觉察到我仍完全不理解。确实，现在我倾向于相信他全然不是个圆，而可能是个高明的魔术师，要不然就是真象有些老婆婆们所说的那样，世上毕竟还有巫师方士之类的人。
又沉默了许久之后，他又自言自语了：“如果我不靠行动证明的话，至少还能有一个办法，那就是试一试类推法。”
随后，他又同我讲起话来。
球：“数学家先生，请告诉我，如果一个点向北移动，留下一条发亮的轨迹，你称这条轨迹为什么？”
我：“一条直线。”
球：“一段直线有几个端点？”
我：“两个。”
球：“现在设想这条线沿东西方向移动，它的每一个点所产生的轨迹都形成一条直线，这样形成的图形叫什么？我们假设这段线平移的距离与其本身等长。说说看这叫什么？”
我：“一个四边形。”
球：“一个四边形有几条边？几个角？”
我：“四条边、四个角。”
球：“再开动一下脑筋，想象一下在二维国里有一个四边形一致地向上移动它自身。”
我：“向哪里？向北吗？”
球：“不，不是向北，是向上，完全脱离二维国。”
“如果这个四边形向北移，它在南边的点必定会通过北边的点原先所占据的位置。这个不是我的意思。
“我的意思是你身上 --— 因为你就是个四边形，所以我就以你为实例来说明 --— 的每一个点，也就是你认为位于你身体内部的每一个点都向上通过空间，使你身上没有一个通过其它一个点原先所占据的位置，但每一个点本身都描绘出等于自己的一条直线。这正是地地道道的类推法。你一定明白了吧？”
现在我真感到一种强烈的冲动，想不顾一切地冲向这位来访者，把他抛出去，把他赶出二维国，把他弄到随便什么地方去，以使我能摆脱他。但我还是极力克制住了自己的厌烦情绪回答道：“你乐于用‘向上’这个字眼来表示的这种运动使我形成的这个图形会有什么性质呢？我想，用我们二维国的语言是可能描述出来的吧？”
球：“当然，这一切都是简单明了的，而且完全可以类推出来。顺便也得提一下，你不能说结果得到的是一个平面图形，而是一个立体，我会向你描述它，更确切他说，是类推法会向你描述它。
“开始，我们是有一个点。当然，既然它本身只是一个点，所以只有一个端点。
“一个点产生一条线，它有两个端点。”
“一条线产生一个四边形，它有四个端点。”
“现在你能回答你自己的问题了：1，2和4，显然是几何级数。它的下一项是什么？”
我：“8。”
球：“对。这个四边形产生了一个你不知道的东西，我们称之为立方体，它有八个端点。现在你相信了吧！”
我：“这种东西有边吗？有角吗？有你们所谓的端点吗？”
球：“根据类推法来看，它当然都有。但是还得提一句，它的边可不是你们的那种边，而是我们所说的‘面’，也就是你们所说的立体。”
我：“那么，由我的身体向这个所谓‘上’的运动而产生的这个你叫做立体的玩艺儿有几个立体，也就是你所说的面？”
球：“你怎么也问起来了？你不是个数学家吗？任何物体所有的‘边’ --— 这里是笼统地一概这样称谓的 --— 总比具有它的物体在维数上低一个。一个点没有维，它有零个边；一条线可以说有两个边 --— 因为可以称一条线的两端为它的边；一个四边形有四个边。于是便有0，2和4。你叫它什么级数？”
我：“算术级数。”
球：“下一项是几？”
我：“6。”
球：“太对了。你看你已经回答了自己的问题。由你产生的这个立方体由六个边组成，也就是说，有六个你的身体。你现在全明白了，嗯？”
“你这个大怪物！”我厉声叫道，“你这个变戏法的，弄巫术的，托恶梦的，耍花活的东西！我再也不能容忍你对我的耍弄了！我跟你拼个你死我活！”一边说着，我一边向他奋力冲去。